Расчет сечения жилы провода в распределенных системах оповещения и звуковой трансляции

Введение
Краткие сведения о проводах
Расчет сопротивления токопроводящей жилы провода в зависимости от длины и температуры
Расчет сечения жилы провода в зависимости от длины и нагрузки в линии
Расчет сечения токопроводящей жилы провода в распределенной линии
Расчет потерь в линии
Расчет сечения жилы провода с учетом потерь в линии
Алгоритмы расчета
Пример расчета

1. Введение

Системы оповещения широко применяются в различных сферах человеческой деятельности, например, системы оповещения и управления эвакуацией СОУЭ, системы оповещения о чрезвычайных ситуациях (локальные ЛСО и централизованные ЦСО системы оповещения). Основное назначение системы оповещения – оповещение людей о той или иной угрозе, донесение до них информации, касающейся их личной безопасности в случае каких-либо экстренных ситуаций: пожаров, техногенных катастроф, террористических угрозах. Системы оповещения являются обязательной составляющей практически любой системы безопасности, в которой являются конечным исполнительным элементом – посредником между техническими средствами и человеком. Достоверность передачи информации в системе оповещения подтверждается электроакустическим расчетом, частью которого является расчет оптимального сечения токопроводящей жилы провода, минимизирующего потери.

Системы оповещения, в зависимости от условий применения и способа передачи, можно разделить на беспроводные и проводные. Проводные системы, транслирующие звуковую или речевую информацию называются трансляционными системами.

Трансляционные системы, в зависимости от принципа построения, можно разделить на локальные и распределенные. В распределенных системах звуковой трансляции используется принцип трансформаторного согласования, в котором к трансляционным усилителям – усилителям с трансформаторным выходным каскадом, подключаются специализированные трансформаторные громкоговорители. При построении распределенных систем громкоговорители, являющиеся нагрузкой, подключаются к соединительной линии параллельно и распределяются вдоль нее. При трансформаторном согласовании звуковая информация передается на повышенном напряжении, что позволяет снизить токи, а следовательно, и нагрузку на провода, увеличить длину соединительной линии и дальность передачи сигнала. Протяженные трансляционные линии строятся следующим образом: вначале прокладывается основная линия, к которой через распределительные коробки подключается нагрузка.

В трансляционных линиях неизбежно возникают потери вызванные наличием собственного сопротивления токопроводящей жилы. Большие потери могут привести к снижению уровня и качества передаваемого сигнала, поэтому не маловажной является задача расчета потерь на проводах и сопряженная с ней задача расчета оптимального сечения токопроводящей жилы провода соединительной линии.

2. Краткие сведения о проводах

Соединительные линии систем противопожарной защиты должны выполняться огнестойкими кабелями с медными жилами с круглым поперечным сечением. Для жил сечением менее 0,5мм² указывается диаметр. Для перехода от сечения (S, мм²) жилы к диаметру (d, мм) и обратно используется зависимость: S = πd² / 4, где S — сечение токопроводящей жилы, мм², d — диаметр провода, мм, π — константа 3,1415.

Сечение токопроводящей жилы провода для случая, когда вся нагрузка (например, громкоговорители) подключена непосредственно к источнику (усилителю мощности, коммутатору), можно воспользоваться следующей зависимостью:

Подставляя в формулу (1) норму нагрузки для меди D = 2А/мм², получим широко применяемое на практике соотношение:

Формула (2) используется для оценки и не учитывает протяженность и распределение нагрузки в линии.

3. Расчет сопротивления токопроводящей жилы провода в зависимости от длины и температуры

Для определения сопротивления жилы провода воспользуемся известным соотношением: сопротивление жилы провода прямо пропорционально длине и обратно пропорционально сечению жилы провода:

В большинстве ссылок приводится значение удельного сопротивления токопроводящей жилы провода для меди r = 0,0175 Ом*мм²/м. Эта величина соответствует температуре t=0°С. С увеличением температуры удельное сопротивление жилы провода заметно увеличивается, что нельзя не учитывать при расчетах.

Зависимость удельного сопротивления жилы провода от температуры:

ВНИМАНИЕ: Формулы (3) и (4) можно использовать, только в том случае, если характеристики применяемого кабеля отсутствуют.

Пример: для огнестойкого кабеля UTP-3нг(А)-FRLS Nx2x0,52 на сайте производителя приводятся следующие характеристики (см. рис.1 ):

Рис. 1 - Электрические параметры огнестойкого кабеля UTP-3нг(А)-FRLS Nx2x0,52

4. Расчет сечения жилы провода в зависимости от длины и нагрузки в линии

В любой линии связи возникают потери. Линия – жила медного провода имеет определенное сопротивление, зависящее от длины, и, следовательно, по закону Кирхгофа на ней должно упасть напряжение и выделиться определенная мощность. В трансляционных системах в качестве нагрузки используются трансформаторные громкоговорители. Импеданс трансформаторного громкоговорителя Z – сопротивление первичной обмотки трансформатора на частоте 1кГц. Сопротивление нагрузки, линии является частотно зависимой (комплексной) величиной, поэтому в этом случае выполняют элементарный оценочный расчет, для среднегеометрической частоты всего частотного диапазона (большинство производителей импеданс трансформаторного громкоговорителя указывают для частоты 1кГц, что соответствует середине нормативного частотного диапазона 0,2 – 5кГц).

Задачу определения сечения жилы провода будем решать в 2 этапа, используя известное представление линии и нагрузки, в виде резистивного делителя (см. рис.2).

Рис. 2 - Эквивалентная схема подключения нагрузки в конце линии

Первый этап, на котором вся нагрузка сосредоточена в конце линии, позволит упростить решение задачи и перейти ко 2 этапу, на котором будут доопределены коэффициенты, позволяющие рассчитывать сечение жилы провода в распределенной линии с произвольно задаваемыми потерями.

Входные данные для расчета:

Р_н – мощность нагрузки в линии, Вт;

U_вх – напряжение на входе линии, В;

L – общая протяженности линии, м.

Для определения сечения жилы провода S, воспользуемся эмпирическими соображениями. Из электроакустики известно, что для сохранения качества передаваемого звукового сигнала, величина потерь по напряжению в линии не должна превышать 10% (данная величина соответствует потерям по мощности примерно 20%, что принято считать нормой), что для резистивного делителя (см. рис. 2), можно записать как: R_л ~ 0,1 R_н, где R_н – сопротивление нагрузки, Ом.

Подставим данное соотношение в формулу (3):

В трансляционных линиях нагрузкой являются трансформаторные громкоговорители. В этом случае в качестве сопротивления нагрузки R_н можно принять значение импеданса громкоговорителя на определенной частоте. Импеданс трансформаторного громкоговорителя Z_гр представляет собой частотно-зависимое (комплексное) сопротивление первичной обмотки звукового трансформатора. Большинство производителей трансформаторных громкоговорителей указывают значение импеданса для максимальной мощности на частоте 1кГц.

Импеданс трансформаторного громкоговорителя Z_гр можно получить из 2-х известных формул:

Закона Ома для участка цепи : J = U / R,
Мощности нагрузки: P = JU.

При использовании в качестве нагрузки нескольких параллельно подключенных трансформаторных громкоговорителей суммарный импеданс Z рассчитывается по формуле:

Формула (7), определяющая проводимость всей цепи, неудобна для расчета суммарного нагрузочного импеданса, особенно, для трансляционной линии с большим количеством громкоговорителей разной мощности. Для расчета суммарного импеданса Z нескольких трансформаторных громкоговорителей удобно использовать формулу (6), в которой P_гр необходимо заменить суммарной мощностью всех трансформаторных громкоговорителей P_н, состоящей из суммы мощностей отдельных громкоговорителей P_i:

Используя в качестве сопротивления нагрузки Rн суммарный импеданс трансформаторных громкоговорителей Z (7) и подставляя (6) в (5), получаем полезную формулу, определяющую сечение жилы провода S в зависимости от мощности нагрузки Рн, напряжения на входе Uвх и длины линии L:

Формула (9) справедлива при потерях в линии, не превышающих 10% и условии, что вся нагрузка сосредоточена в конце линии (формула 8 очень эффективна для протяженных линии (L более 150м). На коротких линиях (L менее 150м) не следует забывать о соотношении сечения и нормы тока (формула 2).

5. Расчет сечения токопроводящей жилы провода в распределенной линии

В трансляционных системах с трансформаторным согласованием громкоговорители подключаются к общей линии, всегда параллельно и распределяются вдоль нее с различной степенью равномерности (см. рис.3).

Рис. 3 - Эквивалентная схема распределенной линии

В распределенной системе трансформаторные громкоговорители (трансформаторные громкоговорители к основной линии подключаются только параллельно, как правило, через распределительные коробки (сопротивление которых мы не учитываем) подключаются к основной линии сечением S, через распределительные коробки отводами меньшего сечения S_i. Для расчета сечения жилы провода отводов распределенной линии, можно использовать формулу (9): S_i = 20rl_i P_грi / U_л², где l_i – длина i-го отвода – расстояние от основной линии (распределительной коробки) до громкоговорителя (м), P_грi – мощность i-го громкоговорителя, Вт.

Наиболее актуальной, является задача расчета сечения основной жилы провода, трансляционной линии. В реальных распределенных структурах, расстояния до громкоговорителей, а также их мощность, варьируются. Подобные задачи решаются итерационными методами с применением законов Кирхгоффа, требуют специальных расчетных навыков или использования программных средств.

Предложенный ниже простой и эффективный метод, может использоваться для решения самого широкого ряда задач. Суть метода основана на очевидном и простом соображении: если большая часть нагрузки сосредоточена не в конце, а в начале линии, то и общая нагрузка на провода уменьшится.

Пример: Для ситуации, изображенной на рис.4, эквивалент мощности нагрузки P_экв=P₁+P₂, находится где-то по середине между громкоговорителями c мощностями P₁ и P₂.

Рис. 4 - Пример, поясняющий смысл коэффициента распределения

Введем коэффициент, учитывающий неравномерность нагрузки и опирающийся на уже построенную формулу (9, справедлива для случая, когда вся нагрузка сосредоточена в конце линии) , из которой видно, что сечение жилы провода прямо пропорционально двум переменным величинам: длине линии и мощности нагрузки и, следовательно, коэффициент распределения должен быть нормирован относительно этих переменных. Дадим определение:

Коэффициент распределения нагрузки К_р – безразмерный коэффициент, учитывающий распределение нагрузки вдоль линии, рис.4:

В распределенных линиях, в которых используются громкоговорители одного номинала Р_гр, суммарную нагрузку можно рассчитать как: Р_н = n_Ргр и в этом случае коэффициент распределения представить как среднее арифметическое расстояний до громкоговорителей:

В случае, когда расстояния до громкоговорителей L_i не известны, коэффициент распределения К_р можно представить как среднее арифметическое между двумя случаями, когда вся нагрузка расположена в начале линии (L = L / n) и в конце линии (L = L_n):

Зависимость коэффициента распределения Kр (12) от количества громкоговорителей n приведена в Таблице 1 (формула 12 справедлива: так для одного громкоговорителя (n = 1), К_р = 1, для большого количества n = 10, K_р стремится к 0,5).

Таблица 1
Зависимость значения коэффициента распределения
от количества элементов нагрузки (громкоговорителей)

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
К_р	1	0,75	0,67	0,63	0,6	0,58	0,57	0,56	0,56	0,55

Наиболее распространенным, является случай, когда вся нагрузка распределена в некотором заранее известном интервале от L₁ до L, где: L – общая протяженность линии. В этом случае коэффициент распределения можно представить как результат усреднения в диапазоне от L₁ до L (среднее арифметическое между L₁ и (L - L₁) (n +1) / 2n (см. ф-лу, 12), нормировано относительно L):

Проверим справедливость формулы (13):

при L₁ стремится к 0, K_р стремится к ((n+1))/2n – формула (12);

при L= L₁, K_р = 1 – вся нагрузка сосредоточена в конце линии.

Пример: Рассчитаем величину коэффициента распределения для случая когда нагрузка (например, 10 громкоговорителей) находятся в здании, удаленном от усилителя на расстояние L₁=300м. Общая протяженность линии L=500м: К_р=(300+0,55*(500-300))/500=0,82.

Коэффициенты распределения для разных случаев удобно представить в виде таблицы:

Таблица 2
Коэффициенты распределения К_р для различных случаев

Формулы для расчета К_р	Условие применения
	Данная формула используется, если известны мощности и расстояния до элементов нагрузки.
	Данная формула используется, если мощности элементов нагрузки равны и расстояния до нагрузки известны.
	Данная формула используется, если известны расстояние до первого громкоговорителя и общая протяженность линии, мощности элементов нагрузки не известны.
	Данная формула используется, если мощность и расстояния до элементов нагрузки не известны.

Введем коэффициент распределения K_р, Таблица (2), в формулу (9):

6. Расчет потерь в линии

Протяженные линии имеют достаточно большое собственное сопротивление, что приводит к рассеянию (потере) на них части мощности. Данный факт нельзя не учитывать. На практике первоначально рассчитывают потери по напряжению, а уже от них переходят к потерям по мощности.

Потери по напряжению – отношение напряжения на линии Uл к общему напряжению на входе линии U_вх:

По закону Кирхгофа отношение сопротивлений пропорционально отношению падающих на них напряжений, поэтому потери по напряжению П_н удобнее выразить через полученные ранее сопротивление линии R_л и сопротивление нагрузки R_н:

Определим величину потерь по напряжению для распределенной линии. Так как коэффициент распределения К_р (Таблица 2) демонстрирует словное уменьшение длины линии, а, следовательно, и ее сопротивление R_л, то и потери в такой линии должны соответственно уменьшиться.

Дополним формулу (15) коэффициентом распределения К_р, Таблица (2):

На практике рассчитывают не только потери по напряжению, но и потери по мощности.

Потери по мощности – отношение мощности выделенной на линии P_л к общей приложенной мощности: сумме мощностей выделенной на линии и на нагрузке P_н.

Потери по мощности удобно рассчитывать через потери по напряжению (16), для чего достаточно учесть, что мощность нагрузки прямо пропорциональна квадрату напряжения на нагрузке (см. формулу 6):

Пример: Из (18) видно, что при потерях по напряжению более 25% (Величина 25% по существующим нормативам является максимально-допустимой), потери по мощности (П_м=(1–((100–25)/100)²)*100=44%) приближаются к 50% (мощность уменьшается в 2 раза (уменьшение мощности в 2 раза (соответствует уменьшению звукового давления на 3дБ), что ощутимо для слушателя)), поэтому величину потерь по напряжению П_н > 25% будем считать критической.

7. Расчет сечения жилы провода с учетом потерь в линии

Вернемся к расчету сечения жилы провода. Рассчитаем сечение жилы провода распределенной линии с учетом потерь по напряжению. Вспомним, что формула (9) построена на допущении, что потери по напряжению в линии не должны превышать 10%, что позволило использовать соотношение: R_л / R_н = 0,1. При величине потерь отличной от 10% данное соотношение изменится. Построим коэффициент, позволяющий учесть любые ожидаемые потери в линии, как К_п = R_н / R_л.

Данный коэффициент удобно связать с потерями по напряжению и интерпретировать как ожидаемые потери. Используя формулу (15) получим:

Проверим справедливость данной формулы: При П_н "стремится к" 100%, K_п "стремится к" 0, R_н "стремится к" 0 – все напряжение остается на линии. При П_н "стремится к" 50%, K_п "стремится к" 1, R_л=R_н – напряжение на линии и нагрузке одинаково. При П_н "стремится к" 10%, K_п "стремится к" 9, R_л=0,11 R_н – напряжение на линии примерно в 10 раз меньше чем на нагрузке. При П_н "стремится к" 0%, K_п "стремится к" ∞, R_л стремится к 0 – напряжение на линии стремится к 0.

Дополним данным коэффициентом формулу (14):

Пример расчета

Рассчитаем звуковое давление громкоговорителя, с учетом потерь на проводах.

Звуковое давление громкоговорителя: P_дб=SPL+10 lg (P_гр), где: SPL – чувствительность громкоговорителя, дБ, P_гр – мощность громкоговорителя, Вт.

В данную формулу удобно ввести потери по мощности (формула 18) и интерпретировать данную ф-лу как: Уровень звукового давления, рассчитанный с учетом потерь по мощности: P_дб=SPL 10 lg (P_гр (100-П_м)/100), где П_м – потери по мощности, %.

8. Алгоритмы расчета

Алгоритм №1 "Расчет сечения жилы провода для равномерно распределенной нагрузки"

Рассчитаем коэффициент потерь, формула (19).
Рассчитаем коэффициент распределения, Таблица (2).
Рассчитаем удельное сопротивление по меди, с учетом температуры, формула (4).
Рассчитаем суммарную нагрузку в линии, формула (8).
Подставим полученные значения в формулу (20).

Алгоритм №1 "Расчет потерь по напряжению в существующей линии

Рассчитаем сопротивление жилы провода, с учетом температуры, формулы (4), (5).
Рассчитаем суммарную нагрузку в линии, формула (8).
Рассчитаем сопротивление нагрузки, формула (6).
Рассчитаем коэффициент распределения, Таблица (2).
Рассчитаем потери по напряжению, формула (16).

9. Пример расчета

Рассчитаем необходимое сечение жилы провода для различных длин и нагрузок в линии, для чего воспользуемся возможностями программы Microsoft Exсel, рис. 5.

Рис. 5 - Расчет сечения токопроводящей жилы провода распределенной линии

Пример расчета можно скачать с нашего сайта.